Тригонометрия

воскресенье, 3 февраля 2008 г.

Обратные тригонометрические функции

Арксинусом числа m называется такой угол x, для которого
$\sin x = m,\, -\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2},\, |m|\leqslant 1.$

Арккосинусом числа m называется такой угол x, для которого $\cos x = m,\qquad 0 \leqslant x \leqslant \pi, |m|\leqslant 1.$

Арктангенсом числа m называется такой угол x, для которого $\operatorname{tg}\, x = m, \qquad -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}.$

Источник: Wiki

Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике

Чтобы определить тригонометрические функции произвольного угла

α,

возьмём произвольный прямоугольный треугольник, содержащий угол

α

Будем предполагать, что треугольник лежит в евклидовой плоскости, поэтому сумма его углов равна $π.$ Это означает, что углы между катетами и гипотенузой лежат между $0$ и $\frac{\pi}{2}.$ Используя формулы приведения или определение через единичную окружность, можно расширить область определения тригонометрических функций на множество вещественных чисел.

Си́нус угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе: $\sin\alpha=\frac{a}{c}.$ Это отношение не зависит от выбора треугольника $A B C$ , содержащего угол $α,$ так как все такие треугольники подобны.

Ко́синус угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе: $\cos\alpha=\frac{b}{c}.$ Так как $\sin\beta=\frac{b}{c},$ синус одного острого угла в треугольнике равна косинусу второго, и наоборот.

Та́нгенс угла — отношение противолежащего катета к прилежащему: $\operatorname{tg}\,\alpha=\frac{a}{b}.$

Кота́нгенс угла — отношение прилежащего катета к противолежащему: $\operatorname{ctg}\,\alpha=\frac{b}{a}.$ Котангенс одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен тангенсу второго, и наоборот.

Из определений тригонометрических функций следует:

$a=c\sin\alpha\,,$

$b=c\cos\alpha\,,$

$a=b\,\operatorname{tg}\,\alpha,$

$b=a\,\operatorname{ctg}\,\alpha,$

и симметрично:

$b=c\sin\beta\,,$

$a=c\cos\beta\,,$

$b=a\,\operatorname{tg}\,\beta,$

$a=b\,\operatorname{ctg}\,\beta,$

Источник: Wiki

Свойства тригонометрических функций

Функция y = cos x — четная. Функции: y = sin x, y = tg x, y = ctg x — нечетные, то есть:

$\text{[math]}$

Для острых углов $\text{[math]}$ справедливо:

$\text{[math]}$

$\cos \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) = \sin \alpha\,,$

$\text{[math]}$

Для углов $\text{[math]}$ справедливо:

$\text{[math]}$

Источник: Wiki

Графики тригонометрических функций:

Изображение:Trigonometric-functions-thick.gif

синус, косинус, тангенс, секанс, косеканc, котангенс

Источник: Wiki

Основные тригонометрические функции


Функция	Обозначение	Соотношение
Си́нус	$sin$	$\sin x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$
Ко́синус	$cos$	$\cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$
Та́нгенс	$\operatorname{tg}$ или $tan$	$\operatorname{tg}\; x=\frac{\sin x}{\cos x}=\operatorname{ctg}\; \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{\operatorname{ctg}\; x}$
Кота́нгенс	$\operatorname{ctg}$ или $cot$	$\operatorname{ctg}\; x=\frac{\cos x}{\sin x}=\operatorname{tg}\; \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{\operatorname{tg}\; x}$